The wavelet basis function filter coefficients ((Subscript[g, j . l])^k) are given by the nullspace of the matrix M  = [(Subscript[Φ, j]), (Subscript[Ψ, j + 1])]

M  =  {{ Sqrt[(Subscript[α, 0])] / Sqrt[(Subscript[α, j])],  
          Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, j])],  
          Sqrt[(Subscript[α, 2])] / Sqrt[(Subscript[α, j])] , 
          Sqrt[(Subscript[α, 3])] / Sqrt[(Subscript[α, j])]}}

NullSpace[M]

Given the area-isometry of the three outer child triangles the symmetry of the basis can be enforced by the parametrization of the synthesis matrix.

φ  =  {Sqrt[(Subscript[α, 0])] / Sqrt[(Subscript[α, j])],  
        Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, j])],  
        Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, j])] , 
        Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, j])]}

(Subscript[ψ, 1]) = {-c Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, 0])] ,  
        b ,  a,  a}

(Subscript[ψ, 2]) = {-c Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, 0])] ,  
        a ,  b,  a}

(Subscript[ψ, 3]) = {-c Sqrt[(Subscript[α, 1])] / Sqrt[(Subscript[α, 0])] ,  
        a ,  a,  b}

The desired properties of the wavelet basis can now be enforced with a simple linear system. It thereby follows from the symmetry of the basis and the area isometry of the three outer child triangles that three equations are sufficient to enfore all constraints.

eq1  =  
      0  ==  φ[[1]] (Subscript[ψ, 1])[[1]]  +  φ[[2]] (Subscript[ψ, 1])[[2]]   +   φ[[3]] (Subscript[ψ, 1])[[3]]   +   φ[[4]] (Subscript[ψ, 1])[[4]]

eq2  =  
      0  ==   (Subscript[ψ, 1])[[1]] (Subscript[ψ, 2])[[1]]  +   (Subscript[ψ, 1])[[2]] (Subscript[ψ, 2])[[2]]   +    (Subscript[ψ, 1])[[3]] (Subscript[ψ, 2])[[3]]   +    (Subscript[ψ, 1])[[4]] (Subscript[ψ, 2])[[4]]

eq3 =  
      0  ==   (Subscript[ψ, 1])[[1]] (Sqrt[(Subscript[α, 0])])  +   (Subscript[ψ, 1])[[2]] (Sqrt[(Subscript[α, 1])])   +    (Subscript[ψ, 1])[[3]]  (Sqrt[(Subscript[α, 1])])   +    (Subscript[ψ, 1])[[4]] (Sqrt[(Subscript[α, 1])])

Equation eq1 guarantees the semi-orthogonality of the basis, Equation eq2 enforces the orthogonality of the wavelet basis functions, and Equation eq3 ensures that the wavelet basis functions have a vanishing integral. It is easy to see that Equation eq1 and Equation eq3 are not linearly independent and differ only by a constant. One parameter can therefore be chosen freely. We set c=1. The solution then follows immeadiately by equating Equation eq3 and Equation eq2.

eq  =  (Subscript[ψ, 1])[[1]] (Sqrt[(Subscript[α, 0])])  +   (Subscript[ψ, 1])[[2]] (Sqrt[(Subscript[α, 1])])   +    (Subscript[ψ, 1])[[3]]  (Sqrt[(Subscript[α, 1])])   +    (Subscript[ψ, 1])[[4]] (Sqrt[(Subscript[α, 1])]) ==   (Subscript[ψ, 1])[[1]] (Subscript[ψ, 2])[[1]]  +   (Subscript[ψ, 1])[[2]] (Subscript[ψ, 2])[[2]]   +    (Subscript[ψ, 1])[[3]] (Subscript[ψ, 2])[[3]]   +    (Subscript[ψ, 1])[[4]] (Subscript[ψ, 2])[[4]]  /.  c -> 1

sol  =  eq  /.  b -> (1  -  2  a)

Solve[sol, a]

The original solution has been obtained with Maple which is better suited to solve these equations. We therefore demonstrate here only that presented solution satisfies the equations.